Двойственность (теория категорий)

Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории C^op. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории C^op. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.

Формальное определение

Язык теории категорий определяется как язык первого порядка с двумя видами символов — объектами и морфизмами, со свойством объекта быть образом или прообразом морфизма, а также с символом для композиции морфизмов.

Пусть σ — любое слово языка. Двойственное ему слово σ^op образуется следующими правилами:

• поменять местами все «образы» на «прообразы» в σ,
• обратить порядок композиции морфизмов, то есть все вхождения $g\circ f$ заменить на $f\circ g$.

Иными словами, необходимо обратить все стрелки и переставить аргументы всех композиций.

Двойственность — это наблюдение, что σ выполняется в некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ^op выполнено в C^op.

Примеры

• Морфизм $f\colon A\to B$ — мономорфизм, когда из $f\circ g=f\circ h$ следует $g=h$. Применив операцию двойственности, получаем утверждение о том, что из $g\circ f=h\circ f$ следует $g=h$. Для морфизма $f\colon B\to A$, это значит в точности то, что f — эпиморфизм. Таким образом, свойство «быть мономорфизмом» двойственно свойству «быть эпиморфизмом».
• Предел и копредел — двойственные понятия.
• Начальный объект и терминальный объект — двойственные понятия.

Литература

• И. М. Виноградов. Двойственная категория // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• И. М. Виноградов. Двойственности принцип // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• И. М. Виноградов. S-двойственность // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.